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Posts Tagged ‘propriétés’

Transitivité ou inégalité triangulaire ?

juin 10th, 2009 by fmn | 6 Comments | Filed in Recherche

    Dans mon billet d’hier, je mentionnais l’inadéquation de la plupart des illustrations censées montrer comment la similarité visuelle ne vérifie pas l’inégalité triangulaire.

    En fait, après réflexion et quelques relectures, je pense que les auteurs font une confusion entre l’inégalité triangulaire et la transitivité. L’inégalité triangulaire fait référence à la notion de plus court chemin. Si m(A, B) est une mesure entre l’objet A et l’objet B, alors l’inégalité triangulaire se traduit par :

    m(A,B) + m(B, C) \geq m(A,C) .

    En géométrie euclidienne, cela indique qu’il est plus court d’aller du point A au point C en ligne droite que de faire un détour par le point B.

    La transitivité est une propriété que peut posséder une relation binaire. Une relation binaire R est transitive si lorsque x et y sont en relation et que y et z sont en relation, alors x et z sont également en relation, plus formellement :

    x R y \wedge y R z \Rightarrow x R z .

    Par exemple si l’amitié était transitive, les amis de mes amis seraient mes amis.

    Ainsi les exemples donnés pour montrer que la similarité visuelle ne vérifie pas l’inégalité triangulaire, montrent plutôt que la similarité visuelle n’est pas transitive : le fait que les images A et B soient similaires et que B et C soient similaires n’impliquent pas que les images A et C sont similaires.

    La non-transitivité de la similarité visuelle n’implique en rien la non vérification de l’inégalité triangulaire. En formalisant un peu, si l’image A et l’image B sont similaires, on peut imaginer que la mesure de similarité s entre ces deux images est inférieure à une valeur seuil \alpha donnée :

    s(A, B) \leq \alpha .

    De même, les images B et C sont similaires :

    s(B, C) \leq \alpha .

    Si l’on fait la somme des ces deux similarités :

    s(A, B) + s(B, C) \leq 2 \alpha .

    Les exemples indiquent que les images A et C ne sont pas similaires, donc

    \alpha < s(A, C) .

    Cette dernière inégalité n’est pas suffisante pour conclure que s(A,B) + s(B, C) \leq s(A, C), il faudrait pour cela que s(A, C) > 2 \alpha. Or on a juste s(A, C) \geq \alpha. Les exemples donnés ne sont donc pas suffisant pour conclure à la non vérification de l’inégalité triangulaire.

    On pourrait argumenter sur le fait que je considère ici des cas limites et que si s(A, C) > \alpha, il est “probable” que s(A, C) \geq 2 \alpha, ce qui conduit à ne pas vérifier l’inégalité triangulaire. Soit, mais les exemples donnés sont censés illustrer la non vérification de la propriété et non indiquer que “probablement” elle n’est pas vérifiée.

    FMN.

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    De bon exemples de l’inégalité triangulaire en similarité visuelle ?

    juin 8th, 2009 by fmn | 4 Comments | Filed in Recherche
    Les travaux d’Amos Tversky sur la similarité ont montrés que le jugement de la similarité chez l’humain n’est pas une métrique ou une distance (au sens mathématique). En particulier les principales propriétés ne sont pas toujours vérifiées :
    1. Minimalité : \delta(a,b) \geq \delta(a, a) = 0.
    2. Symmétrie : \delta(a, b) = \delta(b, a).
    3. Inégalité triangulaire : \delta(a, b) + \delta(b, c) \geq \delta(a, c).

    Si la non-vérification des propriétés 1 et 2 n’est pas contestable, dans de nombreuses publications les exemples avancés pour illustrer la non-vérification de l’inégalité triangulaire (dans le cas des images) ne me semblent pas probants.

    Par exemple, dans un rapport du projet Graphem sur la notion de similarité, les auteurs proposent les images suivantes :
    b_01
    A                               B                               C
    Selon les auteurs :
    1. l’image de gauche (A) et l’image de droite (C) sont jugées relativement dissemblables.
    2. En revanche, celle du milieu (B) est à la fois similaire à (A) et à (C).
    3. La distance d(A, C) serait donc supérieure à la somme d(A,B)+d(B,C), ce qui contredit l’inégalité triangulaire.
    Je ne vois pas en quoi cet exemple illustre la non-vérification de l’inégalité triangulaire :
    1. Pas de constestation du point 1, il s’agit d’une expérience. On obtient donc une mesure d(A, C) = “grand”. Nous pourrions éventuellement discuter pour savoir si la mesure réalisée porte sur d(A, C) ou sur d(C, A), ou encore du fait que les deux images comportent une grande partie de mer, ce qui peut conduire à une interprétation d’images pas aussi dissimilaires que cela. Mais admettons.
    2. B est jugée similaire à A et C, les mesures d(B, A) et d(B,C) doivent donc être faibles, en tout cas plus petite que d(A, C).

    Pour conclure sur l’inégalité triangulaire, il faudrait être capable de comparer d(A, C) et la somme d(B, A) + d(B, C). Or les valeurs numériques ne sont pas connues (elles pourraient l’être via une expérimentation avec des humains ou la mise en oeuvre d’une mesure). Il n’est donc pas possible de calculer la somme et encore moins de conclure que d(A, C) est inférieure ou supérieure à d(B, A) + d(B, C). Plus formellement, nous avons

    d(B, A) \leq d(A, C)

    et

    d(B, C) \leq d(A, C).

    La seule conclusion  possible est d(B, A) + d(B, C) \leq 2 d(A, C), mais pas d(B, A) + d(B, C) \geq d(A, C).

    Il est possible de trouver d’autres exemples ailleurs, ainsi dans une présentation de J.M. Jolion sur la similarité entre images :
    similarite_01-1
    Selon l’auteur : en regard d’un appariement partiel l’inégalité triangulaire n’est pas validée d(a, b) + d(b, c) <= d(a, c). Mes commentaires sont les même que précedemment, je ne vois pas comment l’auteur abouti à sa conclusion.
    Pour faire amende honorable, dans la thèse d’E. Baudrier (p. 67) que j’ai encadré, le même genre d’exemple est donné :
    scriptthesebaudrier_01-1
    Illustration pour l’iné́galité́ triangulaire : l’image de gauche est similaire à celle du centre, celle du centre à celle de droite. Si la mesure de similarité respecte l’iné́galité́ triangulaire, celle de gauche est similaire à celle de droite, ce qui n’est pas le cas. (Baudrier, 2005)
    Ici l’auteur ne s’aventure pas dans la tentative de calcul d’une somme, son argument est proche de celui de Tversky dans “Features of Similarity”, que je reprends ici :
    The triangle inequality differs from minimality and symmetry in that it cannot be formulated in ordinal terms. It asserts that one distante must be smaller than the sum of the two others, and hence it cannot be readily refuted with ordinal or even interval data. However, the triangle inequality implies that if A is quite similar to B, and B is quite similar to C, then A and C cannot be very dissimilar from each other.
    La somme de deux valeurs faibles est-elle grande ou petite ? Le sujet est difficle et mérite une argumentation plus précise.
    Ailleurs dans l’article, Tversky indique que les stimulus visuels sont d’une nature très différente des autres stimulus (verbaux par exemple). Est-ce que le stimulus visuel diffère au point de vérifier l’inégalité triangualire ? Je ne le pense pas, mais toujours est-il que je n’arrive pas à trouver d’exemples incontestables de la non-vérification de l’inégalité triangulaire en similarité visuelle.
    FMN.
    p.s. : j’ai depuis affiné mon avis. Les exemples montrent en fait que la similarité n’est pas transitive, ce qui est vaguement relié à l’inégalité triangulaire (voir ce billet)
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