Commentaires sur : Transitivité ou inégalité triangulaire ?

Par : fmn

fmn — Fri, 12 Jun 2009 09:47:37 +0000

Daniel : je suis content de constater que je ne suis pas le seul à me poser ces questions.

Les deux inégalités que tu proposes permettent effectivement de déduire la transitivité. Il me semble que l’inégalité avec le max est une inégalité de Minkowski en prenant p = infini. Il faut que je fouille un peu pour être certain des mesures associées à ces deux inégalités. Je voudrais juste rappeler ici que mon propos était au départ de questionner la pertinence du choix des exemples de violation de l’inégalité triangulaire.

Je suis d’accord que je me suis embarqué sur le terrain d’une approche probabiliste un peu rapidement, mais je ne voulais pas faire une réelle approche probabiliste. C’était simplement une réflexion.

ps : je me suis permis de rajouter les “plus petits que” dans ton commentaire.

Par : Daniel Lemire

Daniel Lemire — Wed, 10 Jun 2009 18:21:49 +0000

Bon. Voici, je répond sur mon blogue francophone:

http://www.daniel-lemire.com/blogue/2009/06/10/transitivite-et-inegalite-du-triangle-est-ce-la-meme-chose/

Par : Transitivité et inégalité du triangle: est-ce la même chose?

Transitivité et inégalité du triangle: est-ce la même chose? — Wed, 10 Jun 2009 18:19:50 +0000

[...] montre que l’inégalité du triangle n’implique pas la transitivité. Ainsi, montrer que la transitivité n’est pas satisfaite ne suffit pas à conclure que [...]

Par : Daniel Lemire

Daniel Lemire — Wed, 10 Jun 2009 18:12:57 +0000

Les “plus petits que” de mon message précédent ont été biffés!

Par : Daniel Lemire

Daniel Lemire — Wed, 10 Jun 2009 18:12:02 +0000

C’est drôle parce que j’ai pensé un temps fou à me poser les mêmes questions. Comme quoi les grands esprits se rencontrent!

Je te soumet qu’il y a effectivement une forme d’équivalence entre la transitivité est certaines inégalités du triangle. En somme, une violation de la transitivité peut pratiquement toujours être comprise comme une violation d’inégalités du triangle. (Faut noter le pluriel ici.)

Tu montres qu’une violation de la transitivité n’implique pas une violation de l’inégalité du triangle. En somme, l’inégalité du triangle n’implique pas la transitivité. Soit. Mais considérons maintenant une nouvelle inégalité du triangle:

s(a,b)+s(b,c) > 2 s(a,c)

Si cette inégalité est satisfaite, alors nous avons effectivement la transitivité:

s(a,b)< epsilon et s(b,c) < espilon

implique que

s(a,b)+s(b,c) < 2 s(a,c)

d'où s(a,c) < s(a,c)

Tu verras qu'on obtient le même résultat.

Est-ce que ce sont des inégalités farfelues? Absolument pas! Je ne veux pas m'éterniser pour l'instant, mais on pourrait montrer qu'à ces inégalités, il correspond des mesures parfaitement sensées.

Puis, ne mettons pas sous le tapis rapidement l'approche probabiliste. Un autre sujet fascinant est celui des inégalités polygonales... ou transitivité multiple. Prend le cas suivant...

Si A est similaire à B, et B similaire à C, alors avec une probabilité p.

Ah oui? Alors imagine que A1 est similaire à A2 qui est similaire à A3 qui est similaire à .... An. Est-ce qu'on sait que A1 est similaire à An avec une probabilité p? Non. Bien sûr. La probabilité diminue progressivement...

Et le problème n'est pas théorique: si tu ressembles à Joe qui ressemble à Jill qui me ressemble, est-ce qu'on se ressemble? Bien sûr que non!

Mais on n'a pas besoin d'utiliser les probabilités... Est-ce que

s(a,b)+s(b,c) > 2 s(a,c)

implique

s(a,b)+s(b,c)+s(c,d) > 2 s(a,d) ?

Non.

En pratique, donc, dès qu’on viole l’inégalité du triangle classique, on ouvre toute une boîte de Pandore!

Par : De bon exemples de l’inégalité triangulaire en similarité visuelle ?

De bon exemples de l’inégalité triangulaire en similarité visuelle ? — Wed, 10 Jun 2009 14:52:09 +0000

[...] La seule conclusion possible est , mais pas . Il est possible de trouver d’autres exemples ailleurs, ainsi dans une présentation de J.M. Jolion sur la similarité entre images : Selon l’auteur : en regard d’un appariement partiel l’inégalité triangulaire n’est pas validée d(a, b) + d(b, c) <= d(a, c). Mes commentaires sont les même que précedemment, je ne vois pas comment l’auteur abouti à sa conclusion. Pour faire amende honorable, dans la thèse d’E. Baudrier (p. 67) que j’ai encadré, le même genre d’exemple est donné : Illustration pour l’iné́galité́ triangulaire : l’image de gauche est similaire à celle du centre, celle du centre à celle de droite. Si la mesure de similarité respecte l’iné́galité́ triangulaire, celle de gauche est similaire à celle de droite, ce qui n’est pas le cas. (Baudrier, 2005) Ici l’auteur ne s’aventure pas dans la tentative de calcul d’une somme, son argument est proche de celui de Tversky dans “Features of Similarity”, que je reprends ici : The triangle inequality differs from minimality and symmetry in that it cannot be formulated in ordinal terms. It asserts that one distante must be smaller than the sum of the two others, and hence it cannot be readily refuted with ordinal or even interval data. However, the triangle inequality implies that if A is quite similar to B, and B is quite similar to C, then A and C cannot be very dissimilar from each other. La somme de deux valeurs faibles est-elle grande ou petite ? Le sujet est difficle et mérite une argumentation plus précise. Ailleurs dans l’article, Tversky indique que les stimulus visuels sont d’une nature très différente des autres stimulus (verbaux par exemple). Est-ce que le stimulus visuel diffère au point de vérifier l’inégalité triangualire ? Je ne le pense pas, mais toujours est-il que je n’arrive pas à trouver d’exemples incontestables de la non-vérification de l’inégalité triangulaire en similarité visuelle. FMN. p.s. : j’ai depuis affiné mon avis. Les exemples montrent en fait que la similarité n’est pas transitive, ce qui est vaguement relié à l’inégalité triangulaire (voir ce billet) [...]