• [cliquer ici pour la version en français]

Translate original post with Google Translate

En complément à l'état de l'art sur les transformées en distances applicables à des images en niveaux de gris proposé dans le précédent billet (Petite revue des transformations en distance pour des images en niveaux de gris), voici une description de l'approche assez intéressante proposée par Ilya Molchanov et al. ¹.

Description de l'approche

L'idée de base est qu'une image $I$ en niveaux de gris définie sur $R^2$ est un volume binaire définie sur $R^2 \times R$. Il s'agit donc d'ajouter une dimension supplémentaire $t$ et de considérer l'hypographe de $I$ :

$\mathrm{hypo~} I = { (p,t) \in R^2 \times R: I(p) \ge t}.$

Cet hypographe est donc l'ensemble des images binaires obtenues par tous les seuils possibles de $I$. Il suffit donc ensuite d'appliquer la transformation en distance à chaque image binaire, puis de combiner les transformées obtenues. Les auteurs définissent ainsi la transformée en distance $\nu$-pondérée :

$\bar{d}(I) = \int_{\inf I}^{\sup I} d(I_t) \nu(\mathrm{d}t).$

où $d(I_t)$ est la transformée en distance binaire de l'image $I$ seuillée par un seuil de valeur $t \in [\inf I, \sup I]$. $\nu$ est une mesure finie sur $[0, 1]$.

Les auteurs fournissent une expression équivalente à base de dilatation (au sens morphologie mathématique) et montrent l'unicité de la transformée ainsi définie.

Dans le cas d'images numérique, si par exemple l'image possède une dynamique entre $a$ et $b$, la transformée en distance $\nu$-pondérée est :

$\bar{d}(I) = \frac{1}{255}\sum_{i=a}^b d(I_i)w_i$

avec $I_i = {p: I(p) \geq i}$. Deux exemples sont proposés pour les pondérations : $w_i = 1$ pour une transformée en distance uniforme et une pondération issue de l'histogramme de $I$.

Deux exemples issus de l'article

Voici la transformée en distance (uniforme) des images Lena et House :

En première analyse, la transformation en distance proposée semble bien se comporter. Les transformée ont des valeurs claires où les images ont des valeurs sombres. Des lignes de crêtes sont également présentes.

Alors, que faut-il en retenir ?

L'approche proposée est vraiment intéressante :

• la généralisation à des images en niveaux de gris ne nécessite aucune hypothèse sur l'image et ne nécessite pas de notion de fond ou de forme,
• il semble bien que la transformée tend vers une transformée binaire lorsque l'image tend vers une image binaire (cela nécessite une preuve),
• la pondération peut permettre d'ajuster la transformée à un besoin spécifique. La pondération par l'histogramme semble assez logique, sans pour autant considérer une catégorie restreinte d'images,
• des extensions semblent envisageables.

Il reste à tester cette méthode (et ses variantes) de façon plus systématique.

FMN.

Référence

¹

• [2003,article] bibtex
  I. S. Molchanov and P. Terán, "Distance transforms for real-valued functions," J. Math. Anal. Appl., iss. 278, pp. 472-484, 2003.
  @article{Molchanov2003,
  author = {Molchanov, Ilya S. and Ter\'an, Pedro},
  title = {Distance transforms for real-valued functions},
  journal = {J. Math. Anal. Appl.},
  number = {278},
  pages = {472-484},
  year = {2003} }