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Transitivité ou inégalité triangulaire ?

Posted by fmn on June 10, 2009 at 4:49 pm.

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Dans mon billet d'hier, je mentionnais l'inadéquation de la plupart des illustrations censées montrer comment la similarité visuelle ne vérifie pas l'inégalité triangulaire.

En fait, après réflexion et quelques relectures, je pense que les auteurs font une confusion entre l'inégalité triangulaire et la transitivité. L'inégalité triangulaire fait référence à la notion de plus court chemin. Si m(A, B) est une mesure entre l'objet A et l'objet B, alors l'inégalité triangulaire se traduit par :

m(A,B) + m(B, C) \geq m(A,C) .

En géométrie euclidienne, cela indique qu'il est plus court d'aller du point A au point C en ligne droite que de faire un détour par le point B.

La transitivité est une propriété que peut posséder une relation binaire. Une relation binaire R est transitive si lorsque x et y sont en relation et que y et z sont en relation, alors x et z sont également en relation, plus formellement :

x R y \wedge y R z \Rightarrow x R z .

Par exemple si l'amitié était transitive, les amis de mes amis seraient mes amis.

Ainsi les exemples donnés pour montrer que la similarité visuelle ne vérifie pas l'inégalité triangulaire, montrent plutôt que la similarité visuelle n'est pas transitive : le fait que les images A et B soient similaires et que B et C soient similaires n'impliquent pas que les images A et C sont similaires.

La non-transitivité de la similarité visuelle n'implique en rien la non vérification de l'inégalité triangulaire. En formalisant un peu, si l'image A et l'image B sont similaires, on peut imaginer que la mesure de similarité s entre ces deux images est inférieure à une valeur seuil \alpha donnée :

s(A, B) \leq \alpha .

De même, les images B et C sont similaires :

s(B, C) \leq \alpha .

Si l'on fait la somme des ces deux similarités :

s(A, B) + s(B, C) \leq 2 \alpha .

Les exemples indiquent que les images A et C ne sont pas similaires, donc

\alpha < s(A, C) .

Cette dernière inégalité n'est pas suffisante pour conclure que s(A,B) + s(B, C) \leq s(A, C), il faudrait pour cela que s(A, C) > 2 \alpha. Or on a juste s(A, C) \geq \alpha. Les exemples donnés ne sont donc pas suffisant pour conclure à la non vérification de l'inégalité triangulaire.

On pourrait argumenter sur le fait que je considère ici des cas limites et que si s(A, C) > \alpha, il est "probable" que s(A, C) \geq 2 \alpha, ce qui conduit à ne pas vérifier l'inégalité triangulaire. Soit, mais les exemples donnés sont censés illustrer la non vérification de la propriété et non indiquer que "probablement" elle n'est pas vérifiée.

FMN.

6 Comments

  • Daniel Lemire says:
    10 June 2009 at 20:12

    C'est drôle parce que j'ai pensé un temps fou à me poser les mêmes questions. Comme quoi les grands esprits se rencontrent!

    Je te soumet qu'il y a effectivement une forme d'équivalence entre la transitivité est certaines inégalités du triangle. En somme, une violation de la transitivité peut pratiquement toujours être comprise comme une violation d'inégalités du triangle. (Faut noter le pluriel ici.)

    Tu montres qu'une violation de la transitivité n'implique pas une violation de l'inégalité du triangle. En somme, l'inégalité du triangle n'implique pas la transitivité. Soit. Mais considérons maintenant une nouvelle inégalité du triangle:

    s(a,b)+s(b,c) > 2 s(a,c)

    Si cette inégalité est satisfaite, alors nous avons effectivement la transitivité:

    s(a,b)< epsilon et s(b,c) < espilon

    implique que

    s(a,b)+s(b,c) < 2 s(a,c)

    d'où s(a,c) < s(a,c)

    Tu verras qu'on obtient le même résultat.

    Est-ce que ce sont des inégalités farfelues? Absolument pas! Je ne veux pas m'éterniser pour l'instant, mais on pourrait montrer qu'à ces inégalités, il correspond des mesures parfaitement sensées.

    Puis, ne mettons pas sous le tapis rapidement l'approche probabiliste. Un autre sujet fascinant est celui des inégalités polygonales... ou transitivité multiple. Prend le cas suivant...

    Si A est similaire à B, et B similaire à C, alors avec une probabilité p.

    Ah oui? Alors imagine que A1 est similaire à A2 qui est similaire à A3 qui est similaire à .... An. Est-ce qu'on sait que A1 est similaire à An avec une probabilité p? Non. Bien sûr. La probabilité diminue progressivement...

    Et le problème n'est pas théorique: si tu ressembles à Joe qui ressemble à Jill qui me ressemble, est-ce qu'on se ressemble? Bien sûr que non!

    Mais on n'a pas besoin d'utiliser les probabilités... Est-ce que

    s(a,b)+s(b,c) > 2 s(a,c)

    implique

    s(a,b)+s(b,c)+s(c,d) > 2 s(a,d) ?

    Non.

    En pratique, donc, dès qu'on viole l'inégalité du triangle classique, on ouvre toute une boîte de Pandore!

  • Daniel Lemire says:
    10 June 2009 at 20:12

    Les "plus petits que" de mon message précédent ont été biffés!

  • Daniel Lemire says:
    10 June 2009 at 20:21

    Bon. Voici, je répond sur mon blogue francophone:

    http://www.daniel-lemire.com/blogue/2009/06/10/transitivite-et-inegalite-du-triangle-est-ce-la-meme-chose/

  • fmn says:
    12 June 2009 at 11:47

    Daniel : je suis content de constater que je ne suis pas le seul à me poser ces questions.

    Les deux inégalités que tu proposes permettent effectivement de déduire la transitivité. Il me semble que l'inégalité avec le max est une inégalité de Minkowski en prenant p = infini. Il faut que je fouille un peu pour être certain des mesures associées à ces deux inégalités. Je voudrais juste rappeler ici que mon propos était au départ de questionner la pertinence du choix des exemples de violation de l'inégalité triangulaire.

    Je suis d'accord que je me suis embarqué sur le terrain d'une approche probabiliste un peu rapidement, mais je ne voulais pas faire une réelle approche probabiliste. C'était simplement une réflexion.

    ps : je me suis permis de rajouter les "plus petits que" dans ton commentaire.

Trackbacks / Pingbacks

  • De bon exemples de l’inégalité triangulaire en similarité visuelle ? says:
    10 June 2009 at 16:52

    [...] La seule conclusion  possible est , mais pas . Il est possible de trouver d’autres exemples ailleurs, ainsi dans une présentation de J.M. Jolion sur la similarité entre images : Selon l’auteur : en regard d’un appariement partiel l’inégalité triangulaire n’est pas validée d(a, b) + d(b, c) <= d(a, c). Mes commentaires sont les même que précedemment, je ne vois pas comment l’auteur abouti à sa conclusion. Pour faire amende honorable, dans la thèse d’E. Baudrier (p. 67) que j’ai encadré, le même genre d’exemple est donné : Illustration pour l’iné́galité́ triangulaire : l’image de gauche est similaire à celle du centre, celle du centre à celle de droite. Si la mesure de similarité respecte l’iné́galité́ triangulaire, celle de gauche est similaire à celle de droite, ce qui n’est pas le cas. (Baudrier, 2005) Ici l’auteur ne s’aventure pas dans la tentative de calcul d’une somme, son argument est proche de celui de Tversky dans “Features of Similarity”, que je reprends ici : The triangle inequality differs from minimality and symmetry in that it cannot be formulated in ordinal terms. It asserts that one distante must be smaller than the sum of the two others, and hence it cannot be readily refuted with ordinal or even interval data. However, the triangle inequality implies that if A is quite similar to B, and B is quite similar to C, then A and C cannot be very dissimilar from each other. La somme de deux valeurs faibles est-elle grande ou petite ? Le sujet est difficle et mérite une argumentation plus précise. Ailleurs dans l’article, Tversky indique que les stimulus visuels sont d’une nature très différente des autres stimulus (verbaux par exemple). Est-ce que le stimulus visuel diffère au point de vérifier l’inégalité triangualire ? Je ne le pense pas, mais toujours est-il que je n’arrive pas à trouver d’exemples incontestables de la non-vérification de l’inégalité triangulaire en similarité visuelle. FMN. p.s. : j’ai depuis affiné mon avis. Les exemples montrent en fait que la similarité n’est pas transitive, ce qui est vaguement relié à l’inégalité triangulaire (voir ce billet) [...]

  • Transitivité et inégalité du triangle: est-ce la même chose? says:
    10 June 2009 at 20:19

    [...] montre que l’inégalité du triangle n’implique pas la transitivité. Ainsi, montrer que la transitivité n’est pas satisfaite ne suffit pas à conclure que [...]

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